miércoles, 27 de abril de 2016

DISTRIBUCION POISSON

La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce.

Los ejemplos citados tienen un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros (0, 1, 2, 3, 4, 5 y así sucesivamente).
La Distribución de Poisson se llama así en honor a Simeón Dennis Poisson (1781-1840), francés que desarrolló esta distribución basándose en estudios efectuados en la última parte de su vida.
El número de enfermos que llegan a un consultorio en cierto intervalo de tiempo será de 0, 1, 2, 3, 4, 5 o algún otro número entero. De manera análoga, si se cuenta el número de automóviles que llegan a una caseta de cobro durante un periodo de diez minutos, el número será entero.
El número de vehículos que pasan por una caseta de cobro en las horas de mayor tráfico sirve como ejemplo para mostrar las características de una distribución de probabilidad de Poisson.

El promedio (media) de los arribos de vehículos por hora de gran tráfico puede estimarse a partir de los datos anteriores del tráfico.

Si dividimos las horas de gran tráfico en periodos (intervalos) de un segundo cada uno, encontraremos que los siguientes enunciados son verdaderos:

a) La probabilidad de que exactamente un vehículo llegue por segundo a una caseta individual es un número muy pequeño y es constante para que cada intervalo de un segundo.
b) La probabilidad de que dos o más vehículos lleguen en un intervalo de un segundo es tan reducida que podemos asignarle un valor cero.
c) El número de vehículos que llegan en determinado intervalo de un segundo es independiente del momento en que el intervalo de un segundo ocurre durante la hora de gran tráfico.

d) El número de llegadas en cualquier intervalo de un segundo no depende del número de arribos de cualquier otro intervalo de un segundo.

Ahora bien, podemos generalizar partiendo de las cuatro condiciones que hemos descrito en este ejemplo, si estas condiciones se cumplen nos apoyaremos en una distribución de probabilidad de Poisson para describirlos.

Sumas de variables aleatorias de Poisson.
La suma de variables aleatorias de Poisson independientes es otra variable aleatoria de Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros de las originales. Dicho de otra manera, si

Son N variables aleatorias de Poisson independientes, entonces

Propiedades:

La función de masa o probabilidad de la distribución de Poisson es
F(k,\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
donde
  • k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
  • λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
  • e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)
Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatoria. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamañon.
La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a \scriptstyle\lfloor \lambda \rfloor, el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos \scriptstyle\lfloor\ \rfloor representan la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.
La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es
\mathrm{E}\left(e^{tX}\right)=\sum_{k=0}^\infty e^{tk} f(k;\lambda)=\sum_{k=0}^\infty e^{tk} {\lambda^k e^{-\lambda} \over k!} =e^{\lambda(e^t-1)}.
Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.
La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es
D_{\mathrm{KL}}(\lambda||\lambda_0) = \lambda \left( 1 - \frac{\lambda_0}{\lambda} + \frac{\lambda_0}{\lambda} \log \frac{\lambda_0}{\lambda} \right).

Intervalo de confianza

Un criterio fácil y rápido para calcular un intervalo de confianza aproximada de λ es propuesto por Guerriero (2012).1 Dada una serie de eventos k (al menos el 15 - 20) en un periodo de tiempo T, los límites del intervalo de confianza para la frecuencia vienen dadas por:
F_{low} = \left(1 - \frac{1.96}{\sqrt{k-1}}\right) \frac{ k}{T}
F_{upp} = \left(1 + \frac{1.96}{\sqrt{k-1}}\right) \frac{ k}{T}
entonces los límites del parámetro \lambda están dadas por: \lambda_{low}=F_{low} T; \lambda_{upp}=F_{upp} T.

Relación con otras distribuciones

Sumas de variables aleatorias de Poisson

La suma de variables aleatorias de Poisson independientes es otra variable aleatoria de Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros de las originales. Dicho de otra manera, si
X_i \sim \mathrm{Poi}(\lambda_i)\,, i=1,\dots, N
son N variables aleatorias de Poisson independientes, entonces
Y = \sum_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{Poi}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\,.

Distribución binomial

La distribución de Poisson es el caso límite de la distribución binomial. De hecho, si los parámetros n y \theta de una distribución binomial tienden a infinito (en el caso de 'n') y a cero (en el caso de \theta) de manera que \!\lambda=n\theta se mantenga constante, la distribución límite obtenida es de Poisson.

Aproximación normal

Como consecuencia del teorema central del límite, para valores grandes de \lambda, una variable aleatoria de Poisson X puede aproximarse por otra normal dado que el cociente
Y = \frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}}
converge a una distribución normal de media nula y varianza 1.

Distribución exponencial

Supóngase que para cada valor t > 0, que representa el tiempo, el número de sucesos de cierto fenómeno aleatorio sigue una distribución de Poisson de parámetro λt. Entonces, los tiempos transcurridos entre dos sucesos sucesivos sigue la distribución exponencial.

Ejemplos

Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso concreto, k es 5 y, λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto, la probabilidad buscada es
\!P(5;8)= \frac{8^5e^{-8}}{5!}=0,092.

Procesos de Poisson

La distribución de Poisson se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3,... veces durante un periodo definido de tiempo o en un área determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados por la distribución de Poisson incluyen:
  • El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.
  • El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.
  • El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.
  • El número de servidores web accedidos por minuto.
  • El número de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta.
  • El número de mutaciones de determinada cadena de ADN después de cierta cantidad de radiación.
  • El número de núcleos atómicos inestables que se han desintegrado en un determinado período.
  • El número de estrellas en un determinado volumen de espacio.
  • La distribución de receptores visuales en la retina del ojo humano.
  • La inventiva 2 de un inventor a lo largo de su carrera.
  • La distribución de la riqueza humana.



Publicado por en

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)