Distribucion Normal (Curva Normal de Probabilidades)

La distribución de probabilidad conocida como distribución normal es, por la cantidad de fenómenos que explica, la más importante de las distribuciones estadísticas.

A la distribución normal también se la denomina con el nombre de campana de Gauss, pues al representar su función de probabilidad, ésta tiene forma de campana.

La distribución binomial se introduce el concepto de variable aleatoria, distinguiendo además dos tipos de variables, las discretas y las continuas.

En este apartado seguimos con el estudio de distribuciones de probabilidad analizando la distribución de probabilidad continua más importante, la distribución normal. 

La distribución normal estándar: Se observó que no existe una sola distribución de probabilidad normal, sino una “familia” de ellas. Como sabemos, cada una de las distribuciones puede tener una media (µ) o una desviación estándar distinta (σ). Por tanto, el número de distribuciones normales es ilimitado y sería imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de µ yσ. Para resolver este problema, se utiliza un solo “miembro” de la familia de distribuciones normales, aquella cuya media es 0 y desviación estándar 1 que es la que se conoce como distribución estándar normal, de forma que todas las distribuciones normales pueden convertirse a la estándar, restando la media de cada observación y dividiendo por la desviación estándar. Primero, convertiremos la distribución real en una distribución normal estándar utilizando un valor llamado Z, o estadístico Z que será la distancia entre un valor seleccionado, designado X, y la media µ, dividida por la desviación estándar σ.

Formalmente, si X ∼ N(µ,σ) , entonces la v.a. σ − µ = X Z se distribuye según una normal de media 0 y desviación estándar 1, i.e.: Z ∼ N(0,1) , que es la distribución llamada normal estándar o tipificada. De esta manera, un valor Z mide la distancia entre un valor especificado de X y la media aritmética, en las unidades de la desviación estándar. Al determinar el valor Z utilizando la expresión anterior, es posible encontrar el área de probabilidad bajo cualquier curva normal haciendo referencia a la distribución normal estándar en las tablas correspondientes. Así pues, para averiguar el área anterior utilizaremos la tabla que encontraremos al final de este apartado. Dicha tabla nos proporciona la probabilidad de que la v.a. normal estándar Z tome un valor situado a la izquierda de un número c, i.e.: P(Z>c). En otras palabras, esta tabla nos da el valor del área encerrada por f(x) entre -∞ y c

Ejemplos:

a) P(Z<1,52) = {ver tabla} = 0,9357

b) P(Z>1,52) = {área total = 1} = 1 – P(Z<1,52) = 0,0643

c) P(0<Z<1,52) = P(Z<1,52) – P(Z<0) = {simetría} = 0,9357 – 0,5000 = 0,4357

d)   P(-2,1<Z<0) = P(Z<0) – P(Z<-2,1) = {sim+tabla} = 0,5000 – 0,0179 =  0,4821

  Por otra parte, denotemos por z(a) aquel número real tal que  P[Z>z(a)] = a  

  

Por ejemplo:

F u n c ión de de ns ida d  ( f .d. p . )

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

Normal(0,1)

0

Valores de la v.a. Z

a) z(0,25) = nº que deja un área de 0,25 a su derecha = {tabla} ˜ 0,675

ya que P(Z<0,67) = 0,7486 y P(Z<0,68) = 0,7517 .

b)  Si queremos calcular un nº real c tal que P(-c<Z<c) = 0,95 , nos interesa hallar

z(0,025) {ver gráfico inferior}. Según la tabla, c = z(0,025) = 1,96 ya que

P(Z<1,96)  = 0,975 y P(Z<-1,96) = 0,025 :

Supongamos ahora que  X ~ N(100,16) . 

F u n c i ó n  de  den si dad  ( f . d . p . )

  a) ¿Cuál es la probabilidad de que la variable X tome un valor entre 100 y 115?

b) ¿Cúal es la probabilidad de que X tome un valor mayor de 90? :